Logika Matematika

Logika Matematika bagian 1

Logika adalah suatu metode atau teknik yang biasa digunakan untuk meneliti kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti - bukti yang ada atau biasa disebut ketepatan bernalar. Penalaran meliputi pengertian atau konsep dan preposisi atau pernyatan. Apa yang dimaksud dengan pernyataan ?, pernyataan adalah kalimat matematika yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua - duanya. Sebaliknya kalimat seperti “semoga anda lekas sembuh”, “tutup jendela itu!” merupakan kalimat yang tidak bernilai benar atau bernilai salah. Kalimat-kalimat seperti ini tidak dibicarakan dalam persoalan ini. 

Contoh dari pernyataan tunggal :

1. Satu minggu terdiri dari 6 hari (S)
2. 1 tahun ada 12 bulan (B)

Contoh bukan pernyataan :

1. Lina membeli tas
2. Buanglah sampah itu !

Selanjutnya disini kita hanya akan membicarakan masalah pernyataan dan untuk menyingkat penulisan, suatu pernyataan diberi lambang alphabet kecil yaitu a, b, c dan seterusnya, sedangkan untuk nilai benar dan salah berturut-turut disingkat dengan B dan S. 

Apabila terdapat dua atau lebih pernyataan tunggal disebut dengan pernyataan majemuk. Apa yang dimaksud pernyataan majemuk ?, pernyataan yang merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih yang dirangkai dengan kata penghubung. Dalam logika matematika terdapat kata penghubung atau operasi logika.  Kata penghubung dalam logika matematika adalah dan (konjungsi), atau (disjungsi), jika maka  (implikasi) dan jika dan hanya jika (biimplikasi).

Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata penghubung harus diuji kebenarannya, apakah pernyataan bernilai benar atau bernilai salah. Pernyataan majemuk dapat diuji dengan tabel kebenaran. Tabel kebenaran digunakan untuk menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk.  

Negasi ( ~ ), ~ a mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran a. Negasi suatu Pernyataan  adalah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah. Contohnya : Atsaal suka apel maka negasinya Atsaal tidak suka apel.

Operasi logika/ kata penghubung  :  

• Dan ( Λ ) disebut dengan konjungsi. 

Konjungsi dua pernyataan a dan b ( ditulis “a Λ b” dibaca “a dan b” ) bernilai B (benar) jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B (benar), sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainya, “a Λ b” bernilai S (salah). Intinya : "a Λ b" bernilai salah apabila ada di antara a dan b yang bernilai salah.   

Contoh :

a = Satu minggu ada 7 hari (B)

b = Satu tahun ada 12 bulan (B)

a Λ b =Satu minggu ada 7 hari dan satu tahun ada 12 bulan (B)

a = 2 adalah bilangan prima (B)

b = 18 adalah bilangan ganjil (S)

a Λ b = 2 adalah bilangan prima dan 18 adalah bilangan ganjil (S)

Tabel Kebenaran Konjungsi

• Atau (V) disjungsi. 

Disjungsi a v b bernilai benar jika ada di antara a dan b yang bernilai benar. 
Intinya, bernilai S jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainya, “aVb” bernilai B.

Contoh :

        a =  Jakarta adalah ibu kota Jawa Tengah (S)

b =  Bandung adalah ibu kota Jawa Timur (S)
aVb = Jakarta adalah ibu kota Jawa Tengah atau Bandung adalah ibu kota Jawa Timur (S)

a = 2 adalah bilangan prima (B)

b = 18 adalah bilangan ganjil (S)
aVb= 2 adalah bilangan prima atau 18 adalah bilangan ganjil (B)

Negasi dari konjungsi dan disjungsi mempunyai makna yang sama dengan negasi suatu pernyataan. Oleh karena itu , nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus berpadu pada aturan tentang nilai kebenaran dari konjungsi dan disjungsi.

Tabel Kebenaran Negasi dari Konjungsi

Berdasarkan tabel kebenaran negasi dari konjungsi diketahui :
Nilai kebenaran kolom ~( aΛb) sama dengan urutan nilai kebenaran kolom ~aV~b.  Maka dapat disimpulkan bahwa ~( aΛb) ≡ ~aV~b. hal ini menunjukan negasi dari konjungsi dua pernyataan sama dengan disjungsi dari negasi masing-masing pernyataan tunggalnya.

Contoh : “Khalif suka mangga dan Khalif suka apel” negasinya menjadi “Khalif tidak suka mangga atau Khalif tidak suka apel.

Tabel Kebenaran Negasi dari Disjungsi

Dapat dilihat kolom ~( aVb) sama dengan kolom ~aΛ~b, maka dapat disimpulkan bahwa ~( aVb) ≡
~a Λ~b. Negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan konjungsi dari negasi pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Contoh : “Atsaal suka mangga atau Atsaal suka apel” negasinya menjadi “ Atsaal tidak suka mangga dan Atsaal tidak suka apel” .

Bagaimana ? Mudah bukan ?

Untuk implikasi, bimplikasi akan dibahas pada belajar logika matematika bagian II.
Terimakasih semoga bermanfaat.